Talteori

Den græske matematiker Euklids lærebog ELEMENTER er, hvis man ser bort fra Bibelen, den mest trykte lærebog gennem tiderne. ELEMENTER er skrevet omkring 300 f. Kristus, og er en samling af i alt 13 bøger, der præsenterer den samlede viden om matematik og geometri i tiden.ELEMENTER er et helt uomgængeligt værk for den matematik- og filosofiinteresserede.Bøgerne 1-6, der behandler plangeometrien, er udgivet i foreløbig to oplag, og nu udgives bøgerne 7-9, der omhandler naturlige tal, som bind 2 i det samlede værk.

Bind 3 i den nye oversættelse af den græske matematiker Euklids lærebog ELEMENTER omhandler kommensurabilitet. ELEMENTER er skrevet omkring 300 f. Kristus og er en samling af i alt 13 bøger, der præsenterer den samlede viden om matematik og geometri i tiden.Engang omkring år 500 f.Kr. opdagede nogle pythagoræiske matematikere et matematisk problem, som de meget tøvende gik i gang med at finde løsninger på: Nogle tal og linjestykker kan måles med den samme målestok, andre kan ikke.  Et kendt eksempel er et kvadrat på 2x2 fod (eller meter), hvis diagonal målenheden ikke ’går op’ i.Linjer er med andre ord kommensurable eller inkommensurable med hinanden. Men hvordan hænger det sammen?I de foregående ni bøger i Elementerne har Euklid fremstillet geometrien i sin klassiske form på en ny og overskuelig måde, der gjorde alle tidligere geometrier forældede, men i Bog X tager han fat på læsningerne i en helt ny og uudforsket gren af matematikken, læren om kommensurabilitet, som havde fået et afgørende spring fremad med matematikerne Theodoros og Theaitetos i begyndelsen af 300-tallet f.Kr., men endnu ikke var blevet lærebogsstof. Bog X, som i omfang udgør næsten en fjerdedel af hele Euklids Elementer, bærer som frontforskning præg af at skulle fremstille en ny og uprøvet videnskabsgren i et forsøg på at bringe orden og system i den nye erkendelse.Euklids ELEMENTER er et hovedværk ikke alene i matematikken, men i hele den vestlige civilisation og er et helt uomgængeligt værk for den matematik- og filosofiinteresserede.Bogen henvender sig til en bred gruppe læsere: professionelle matematikere fx i gymnasiet og på universitetet, hvor der undervises i matematikkens historie og videnskabsteori, filosofi- og antikstuderende sammesteds og endelig den ret store gruppe mennesker, der interesserer sig for antik filosofi og matematik.Euklids ELEMENTER bog X er indledt, oversat og forsynet med bemærkninger af Claus Glunk, Hanne Eggert Strand, Chr. Marinus Taisbak og Chr. Gorm Tortzen.

This book describes a novel approach to the study of Siegel modular forms of degree two with paramodular level. It introduces the family of stable Klingen congruence subgroups of GSp(4) and uses this family to obtain new relations between the Hecke eigenvalues and Fourier coefficients of paramodular newforms, revealing a fundamental dichotomy for paramodular representations. Among other important results, it includes a complete description of the vectors fixed by these congruence subgroups in all irreducible representations of GSp(4) over a nonarchimedean local field.Siegel paramodular forms have connections with the theory of automorphic representations and the Langlands program, Galois representations, the arithmetic of abelian surfaces, and algorithmic number theory. Providing a useful standard source on the subject, the book will be of interest to graduate students and researchers working in the above fields.

This book provides a foundation for arithmetic topology, a new branch of mathematics that investigates the analogies between the topology of knots, 3-manifolds, and the arithmetic of number fields. Arithmetic topology is now becoming a powerful guiding principle and driving force to obtain parallel results and new insights between 3-dimensional geometry and number theory.After an informative introduction to Gauss' work, in which arithmetic topology originated, the text reviews a background from both topology and number theory. The analogy between knots in 3-manifolds and primes in number rings, the founding principle of the subject, is based on the étale topological interpretation of primes and number rings. On the basis of this principle, the text explores systematically intimate analogies and parallel results of various concepts and theories between 3-dimensional topology and number theory. The presentation of these analogies begins at an elementary level, gradually building to advanced theories in later chapters. Many results presented here are new and original.References are clearly provided if necessary, and many examples and illustrations are included. Some useful problems are also given for future research. All these components make the book useful for graduate students and researchers in number theory, low dimensional topology, and geometry.This second edition is a corrected and enlarged version of the original one. Misprints and mistakes in the first edition are corrected, references are updated, and some expositions are improved. Because of the remarkable developments in arithmetic topology after the publication of the first edition, the present edition includes two new chapters. One is concerned with idelic class field theory for 3-manifolds and number fields. The other deals with topological and arithmetic Dijkgraaf¿Witten theory, which supports a new bridge between arithmetic topology and mathematical physics.

Die 3., ergänzte Auflage stellt auf breiter fachlicher Ebene einfache elementare zahlentheoretische Inhalte vor sowie Stoffkomplexe aus der analytischen und algebraischen Zahlentheorie. Das Lehrbuch bietet auf überschaubaren mathematischen Niveau einen leicht verständlichen Einstieg in ausgewählte Themen der Zahlentheorie und beschreibt aktuelle Forschungsergebnisse zum RSA-Algorithmus. Sämtliche Kapitel enthalten umfassende Beispiele, Übungsaufgaben mit Lösungen und ausführlich durchgerechnete Beweise, so dass es sich sehr gut zur Prüfungsvorbereitung eignet.

This book studies the modules arising in Fourier expansions of automorphic forms, namely Fourier term modules on SU(2,1), the smallest rank one Lie group with a non-abelian unipotent subgroup. It considers the ¿abelian¿ Fourier term modules connected to characters of the maximal unipotent subgroups of SU(2,1), and also the ¿non-abelian¿ modules, described via theta functions. A complete description of the submodule structure of all Fourier term modules is given, with a discussion of the consequences for Fourier expansions of automorphic forms, automorphic forms with exponential growth included.These results can be applied to prove a completeness result for Poincaré series in spaces of square integrable automorphic forms.Aimed at researchers and graduate students interested in automorphic forms, harmonic analysis on Lie groups, and number-theoretic topics related to Poincaré series, the book will also serve as a basic reference on spectral expansion with Fourier-Jacobi coefficients. Only a background in Lie groups and their representations is assumed.